El plano euclídeo

Nuestro recorrido por el universo de las geometrías empieza en la que todos hemos estudiado desde la enseñanza primaria: la geometría del plano euclídeo.

Los elementos básicos de esta geometría son los puntos y las rectas. Las rectas pueden cortarse en un punto o ser paralelas. Cuando dos rectas se cortan en un punto forman cuatro ángulos. Si esos cuatro ángulos son iguales, las rectas se dicen perpendiculares, y los ángulos que forman se llaman ángulos rectos.

Tres puntos no alineados, es decir no situados en la misma recta, forman un triángulo.

Este caso es el más sencillo en el que se verifican los cinco postulados de Euclides:

1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera.
2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Todos los  ángulos rectos son iguales entre sí.
5. (Postulado de las paralelas) Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela. 

Todos estos conceptos: recta, círculo, ángulo, paralelismo, perpendicularidad, triángulo son invariantes por una serie de transformaciones que podemos realizar en el plano.

Una transformación hace corresponder a cada punto otro punto de acuerdo a una "regla" que se aplica igual para todos los puntos.

Un ejemplo son las traslaciones. Una traslación se determina fijando un par ordenado de puntos, digamos A y A', que se van a corresponder en esa transformación. A partir de ese par de puntos, podemos determinar el punto B' que corresponde a cualquier otro punto, digamos B.

La regla que se aplica depende de si el punto B está fuera de la recta AA' o forma parte de ella.

En el primer caso, la recta AB es distinta de la AA', de forma que la recta paralela a AA' que pasa por B, y la recta paralela a AB que pasa por A', se cortan en el punto B':

En estas construcciones hemos utilizado la versión más sencilla del teorema de Tales: dos rectas paralelas cortan a otras dos rectas paralelas cualesquiera en segmentos iguales.

En el segundo caso, si B está en la recta AA', podemos usar un punto C fuera de esa recta; aplicar  la construcción anterior para obtener el correspondiente C' y, considerando la traslación definida por la pareja C  y C', en lugar de por A y A', aplicar de nuevo la construcción anterior para obtener B':

Una traslación T queda definida por un segmento "ordenado", es decir un segmento en el que se especifica qué punto es el origen y cuál es el extremo;  pero hay muchos segmentos diferentes que determinan la misma traslación: todos ellos deben ser paralelos entre sí y también la recta que pasa por los orígenes de dos de esos segmentos debe ser paralela a la recta que pasa por sus correspondientes extremos, como ocurre en la figura anterior con los segmentos AA' y CC'.

Una propiedad fundamental de las traslaciones es que si componemos, es decir,  si aplicamos sucesivamente dos traslaciones T1 y T2,  la transformación resultante en el plano es la misma que si se hubiera aplicado una sola traslación; a esta traslación resultante la podemos llamar composición, o suma, de T1 y T2.

Veamos gráficamente cómo se suman dos traslaciones:

Las traslaciones nos permiten duplicar segmentos. En efecto, dados dos puntos A y B, el segmento doble del segmento AB será el segmento AB', siendo B' el trasladado de B por la traslación definida por A y B.

Aplicando sucesivamente la misma traslación podemos triplicar, cuadruplicar, etc., el segmento AB.

Observemos que el resultado de duplicar, triplicar, etc., un segmento es otro segmento situado sobre la misma recta que el segmento original.

Un arco de circunferencia, es decir la porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma, es un concepto análogo al de segmento de recta y también podemos duplicarlo, triplicarlo, etc.

Veamos gráficamente como duplicar el arco PQ:

El arco PP' es el doble del arco PQ. Para determinar el punto P', se traza la perpendicular al radio OQ que pasa por P; esa perpendicular corta a la circunferencia en un segundo punto además de P; ese otro punto es P'.

Duplicando el arco QP' que es la mitad de PP', obtenemos un arco PP'' que será el triple de PQ:

Y así sucesivamente, como hemos visto con los segmentos.

Pero no sólo podemos multiplicar segmentos también podemos dividirlos, aplicando de nuevo el teorema de Tales que nos dice que si dos rectas paralelas cortan a alguna recta en segmentos iguales también serán iguales los segmentos que resulten al cortar esas dos rectas paralelas a cualquier otra recta.

Para dividir el segmento AB, por ejemplo, en tres partes iguales, utilizaremos una recta que pase por el punto A pero no por B. Sobre esa recta elegimos cualquier punto C1 y multiplicamos 3 veces el segmento AC1, obteniendo los puntos C2 y C3, de forma que los segmentos C1C2 y C2C3 son ambos iguales al AC1. Entonces la rectas paralelas a C3B que pasan por C1 corta al segmento AB en un punto D1 tal que el segmento AD1 es la tercera parte del AB. Análogamente, la paralela a C3B que pasa por C2 corta al segmento AB en un punto D2 tal que la razón entre el segmento AD2 y el AB es 2/3. 

Veámoslo gráficamente:

En cambio, para dividir arcos NO existe un procedimiento gráfico, en general, como el que acabamos de ver para segmentos basado en el teorema de Tales.

Si queremos dividir un arco en 2 partes iguales, sí disponemos de un procedimiento gráfico: basta trazar el radio perpendicular a la cuerda correspondiente al arco.

Repitiendo ese procedimiento podemos dividir gráficamente un arco en 4, 8, 16,...etc., partes iguales; es decir, en un número de partes iguales que sea potencia de 2.

Volviendo al caso de los segmentos, dado que sabemos multiplicarlos y dividirlos, podemos decir que sabemos multiplicar un segmento por cualquier número entero o racional (para los irracionales tendríamos que utilizar un procedimiento de paso al límite).

En consecuencia, también podemos multiplicar por un número λ a una traslación T, definida por un segmento AB: el resultado se escribe λT y es la traslación determinada por el segmento que resulta al multiplicar AB por ese mismo λ.

El hecho de que podamos sumar traslaciones y multiplicarlas por números para obtener nuevas traslaciones se resume diciendo que el conjunto de las traslaciones tiene una estructura de espacio vectorial.

Vamos a definir ahora un nuevo tipo de transformación: la simetría axial, también llamada reflexión.

En una simetría axial hay una recta cuyos puntos quedan fijos o invariantes por esa transformación -sus correspondientes son ellos mismos. Esa recta de puntos fijos se llama eje de la simetría.

Dado un punto P fuera del eje de simetría, su correspondiente P' se obtiene aplicando la traslación definida por PQ al punto Q, siendo Q el único punto del eje de simetría tal que PQ es perpendicular al eje:

Las reflexiones pueden componerse como las traslaciones. Mientras que a la composición de traslaciones es habitual denominarla suma, la composición de reflexiones se suele denominar producto. Otra diferencia con las traslaciones es que el producto de dos reflexiones NO es otra reflexión.

En primer lugar, el producto de una reflexión por sí misma es una transformación en la que cada punto se transforma en él mismo, es decir todos los puntos del plano quedan fijos (o invariantes). A este movimiento especial lo llamamos el movimiento identidad, que se suele representar con la letra I.

El producto de dos reflexiones cuyos ejes de simetría sean paralelos es una traslación, determinada por el doble de cualquiera de los segmentos que tienen origen en el eje de la primera reflexión y extremo en la segunda y que son perpendiculares a ambos ejes.

Recíprocamente, toda traslación puede obtenerse como el producto de dos reflexiones de ejes paralelos; ambas deben tener sus ejes perpendiculares a la dirección de la traslación y la separación entre ellos debe ser la mitad del segmento que determina la traslación.

Si los ejes de simetría no son paralelos, el movimiento resultante es un giro cuyo centro es el punto de corte de los ejes y el ángulo de giro es el doble del ángulo que forman los ejes al cortarse.

Métrica del plano euclídeo

Si fijamos un segmento cualquiera como unidad de longitud, a cualquier otro segmento se le puede asignar el número de veces, entero o fraccionario, que contiene al segmento unidad, utilizando las construcciones anteriores para multiplicar y dividir segmentos. Ese número se llama longitud del segmento y, como es obvio, depende del segmento que se haya elegido como segmento unidad; en otras palabras, la longitud de un segmento NO es una propiedad intrínseca suya.

Grupo de los movimientos o isometrías del plano

Tanto las traslaciones como las simetrías axiales y los giros dejan invariante la longitud: un segmento transformado tiene la misma longitud que el segmento original.

Por esta razón, estas transformaciones se llaman isometrías, o también movimientos, del plano.

Hemos visto que al componer dos reflexiones podemos obtener giros o traslaciones y que, recíprocamente, cualquier giro o traslación es el producto de dos reflexiones.

En general, si componemos dos isometrías el resultado es necesariamente otra isometría porque si en cada paso se mantienen las longitudes así será en la composición.

Por eso decimos que las isometrías forman un grupo.

Medida de ángulos

Fijado un segmento como unidad de longitud también podemos asignar una medida a los ángulos.

A cada ángulo se le asigna, como medida, la longitud del arco de circunferencia que corresponde a dicho arco en una circunferencia cuyo radio es el segmento unidad.

Esa circunferencia, como sabemos, tiene una longitud de 2π, y la medida que se le asigna a cualquier ángulo es 2π/λ , siendo λ  el número -entero, racional o irracional- de veces que el arco determinado por ese ángulo sobre la circunferencia unidad está contenido en la circunferencia.

Invariancia por isometrías

Todos los conceptos que hemos visto hasta ahora, rectas, segmentos, paralelismo, perpendicularidad, triángulos, circunferencias, arcos, medidas de segmentos y ángulos, son invariantes por el grupo de las isometrías del plano.

Es decir, que cualquier movimiento o isometría del plano transforma rectas paralelas/perpendiculares en otras rectas también paralelas/perpendiculares; que transforma segmentos en segmentos de la misma longitud, ángulos en ángulos de la misma medida y circunferencias en circunferencias de la misma longitud, etc.

Ahora vamos a introducir otro tipo de transformación del plano que también respeta paralelismo y perpendicularidad, que mantiene la medida de los ángulos, que transforma circunferencias en circunferencias pero NO es una isometría porque NO mantiene las longitudes: las homotecias.

Una homotecia queda determinada por un punto, el centro de homotecia O, que queda fijo o invariante, es decir que su correspondiente es él mismo (O=O'), y por un número, la razón de homotecia λ, que nos dice como obtener el transformado A' de cualquier punto A diferente del centro de homotecia:

A se transforma por la homotecia en el punto A' tal que el segmento OA' es igual a λ veces el segmento OA.

Una propiedad fundamental de las homotecias es que transforman un triángulo en otro triángulo semejante, dado que el triángulo transformado tiene sus lados paralelos a los del triángulo original o, lo que es equivalente, sus ángulos iguales que los del triángulo original:

Sin embargo, una homotecia de razón λ  transforma un segmento de longitud s en otro de longitud λs. Por tanto, la longitud es un concepto NO invariante por las homotecias. En consecuencia, las homotecias NO son isometrías del plano euclídeo.

Aunque las homotecias no dejen invariante la métrica euclídea hay un interesante concepto que SÍ dejan invariante: la razón simple de tres puntos alineados.

Dados 3 puntos situados sobre la misma recta, A, B y C, la razón simple de esta terna de puntos, que suele denotarse por (ABC) es la razón de las longitudes AB/AC. Por ejemplo, si B es el punto medio del segmento AC, tendremos (ABC) = 1/2.

En cambio, las homotecias SÍ son isometrías en la geometría hiperbólica, como podemos ver en la entrada. correspondiente.

Además de las isometrías y las homotecias hay otras transformaciones del plano, llamadas shearing en inglés (en español se puede traducir por cizallamiento o trasquilón), que transforman rectas en rectas pero no sólo no mantienen las distancias sino que, en general, tampoco mantienen ni el paralelismo ni la perpendicularidad.

Una transformación del tipo shearing en la dirección del eje horizontal es la transformación que se utiliza para crear los tipos de letra itálica:

En este caso, la figura azul se transforma en la roja.

El punto negro es el origen de coordenadas; cada punto se transforma en otro situado sobre la misma recta horizontal a la que pertenece el primero y la distancia entre original y transformado es proporcional a la distancia entre esa línea horizontal y el eje horizontal (los puntos situados por encima del eje horizontal se desplazan hacia la derecha del origen y los situados por debajo hacia la izquierda).