Pensamientos al hilo de la lección "Humanismo y espíritu de la Geometría" del profesor Sancho Guimerá
Voy a intentar plasmar en una serie de entradas de este blog mi entendimiento de algunos de los conceptos a los que el profesor Sancho se refería en su lección Humanismo y espíritu de la Geometría, fruto de mis conversaciones con él a lo largo de los casi 40 años en que, con mayor o menor frecuencia, tuve la fortuna de disfrutar de su amistad y magisterio.
Durante más de 20 siglos la Geometría euclidiana se aceptó como la única posible, pero a largo del siglo XIX tiene lugar una revolución copernicana en la comprensión de la Geometría, con el descubrimiento de la Geometría hiperbólica que cumple todos los postulados euclidianos salvo el de que por un punto exterior a una recta pasa una, y sólo una, recta paralela a ella; en la geometría hiperbólica por un punto exterior a una "recta" pasan infinitas rectas paralelas.
Tras la geometría hiperbólica se descubre otro tipo de geometría "casi" euclidiana pero que también violaba el postulado de las paralelas, sólo que en el sentido contrario al de la hiperbólica: por un punto exterior a una "recta" no pasa ninguna paralela a ella. Esta geometría se llama elíptica.
Entrecomillamos el término "recta" porque en los modelos de las geometrías no euclidianas las figuras correspondientes a las rectas euclidianas pueden tener apariencia de círculos, como en la geometría elíptica, o semicírculos en la hiperbólica.
En próximas entradas veremos modelos de geometría hiperbólica -el semiplano de Poincaré- y de la geometría elíptica -la esfera de Riemann.
Partiendo de la geometría más conocida, la del plano euclidiano, veremos que hay muchas otras geometrías pero lo esencial que todas tienen en común es: un espacio y un grupo de transformaciones. Estas transformaciones determinan los conceptos (figuras y sus propiedades) que son invariantes por ellas; y de esos precisamente, y sólo de esos, tiene sentido hablar en cada geometría.
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